Binomio

Para otros usos de este término, véase binomial (desambiguación).

En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos monomios.

Ejemplos

$a+b$ .
$a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2$ .

Operaciones sobre binomios

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

$c (a + b) = c a + c b$

o realizando la operación:

$\begin{array}{rrr} & a & +b \\ \times & & c \\ \hline & ca & +cb \end{array}$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy

Suma por diferencia

El binomio

a^2 - b^2

puede factorizarse como el producto de dos binomios:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Demostración:

\begin{array}{rrr} & a & +b \\ \times & a & -b \\ \hline & -ab & -b^2 \\ a^2 & +ab & \\ \hline a^2 & & -b^2 \end{array}

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula:

a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales

(ax+b)

(cx+d)

es:

(ax+b)(cx+d) = acx^2 + axd + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:

(a + b)^n

, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: